You are looking for information, articles, knowledge about the topic nail salons open on sunday near me 열 방정식 on Google, you do not find the information you need! Here are the best content compiled and compiled by the toplist.hotramvillas.vn team, along with other related topics such as: 열 방정식 열방정식 풀이, 열 방정식 유도, 1차원 열전도 방정식, 열확산 방정식, 파동방정식, 열방정식 나무위키, 편미분 방정식, Heat equation 유도
Table of Contents
열 방정식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
- Article author: ko.wikipedia.org
- Reviews from users: 27161
Ratings - Top rated: 4.5
- Lowest rated: 1
- Summary of article content: Articles about 열 방정식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전 물리학과 수학에서 열 방정식(熱方程式, heat equation)은 열 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 편미분 방정식이다. …
- Most searched keywords: Whether you are looking for 열 방정식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전 물리학과 수학에서 열 방정식(熱方程式, heat equation)은 열 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 편미분 방정식이다.
- Table of Contents:
정의[편집]
그린 함수[편집]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]
열방정식, 파동방정식의 의미 – 공돌이의 수학정리노트
- Article author: angeloyeo.github.io
- Reviews from users: 27870 Ratings
- Top rated: 3.4
- Lowest rated: 1
- Summary of article content: Articles about 열방정식, 파동방정식의 의미 – 공돌이의 수학정리노트 위키피디아에 따르면 열 방정식(heat equation)은 열 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 편미분 방정식이라고 한다. …
- Most searched keywords: Whether you are looking for 열방정식, 파동방정식의 의미 – 공돌이의 수학정리노트 위키피디아에 따르면 열 방정식(heat equation)은 열 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 편미분 방정식이라고 한다. 열방정식 (heat equation)위키피디아에 따르면 열 방정식(heat equation)은 열 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 편미분 방정식이라고 한다.일단 ‘2차 편미분 방정식’이라는 복잡한 말은 배제하자(‘2차’라는 말이 들어간 것은 순전히 미분을 …
- Table of Contents:
열방정식의 intuition
2차 미분계수와 ‘볼록’ ‘오목’
열방정식의 의미
MATLAB demo 1 쇠막대기 예제
MATLAB demo 2 쇠판대기 예제
파동 방정식의 intuition
시뮬레이션 1차원 공간 상의 파동
시뮬레이션 2차원 공간 상의 물결파
조금은 느리게 살자: 열이 통신이 되다: 열 방정식(Heat Becomes Communication: Heat Equation)
- Article author: ghebook.blogspot.com
- Reviews from users: 34843 Ratings
- Top rated: 3.1
- Lowest rated: 1
- Summary of article content: Articles about
조금은 느리게 살자: 열이 통신이 되다: 열 방정식(Heat Becomes Communication: Heat Equation)
하지만 푸리에가 후일 기여하게 되는 열 방정식(heat equation)과 푸리에 급수(Fourier series)[1]–[5]가 출현하기 위해서는 몇 가지 고난을 더 겪어야 … … - Most searched keywords: Whether you are looking for
조금은 느리게 살자: 열이 통신이 되다: 열 방정식(Heat Becomes Communication: Heat Equation)
하지만 푸리에가 후일 기여하게 되는 열 방정식(heat equation)과 푸리에 급수(Fourier series)[1]–[5]가 출현하기 위해서는 몇 가지 고난을 더 겪어야 … - Table of Contents:
2012년 7월 22일 일요일
[아름다운 총서] 푸엥카레 가라사대 자연이 아름답지 않으면 연구는 필요 없다 연구가 없으면 삶도 없다블로그 검색
번역기(Translator)
프로필
글목록
가장 많이 본 글
최근 댓글
관심 사용자
페이지뷰
열 방정식의 해, 푸리에 급수를 이용하여 (Solution Of Heat Equation Using Fourier Series)
- Article author: egg-money.tistory.com
- Reviews from users: 31844 Ratings
- Top rated: 5.0
- Lowest rated: 1
- Summary of article content: Articles about 열 방정식의 해, 푸리에 급수를 이용하여 (Solution Of Heat Equation Using Fourier Series) 열 방정식의 해, 푸리에 급수를 이용하여 (Solution Of Heat Equation Using Fourier Series). 완숙 2018. 12. 8. 01:37. 좋아요공감. 공유하기. …
- Most searched keywords: Whether you are looking for 열 방정식의 해, 푸리에 급수를 이용하여 (Solution Of Heat Equation Using Fourier Series) 열 방정식의 해, 푸리에 급수를 이용하여 (Solution Of Heat Equation Using Fourier Series). 완숙 2018. 12. 8. 01:37. 좋아요공감. 공유하기.
- Table of Contents:
완숙의 블로그
열 방정식의 해 푸리에 급수를 이용하여 (Solution Of Heat Equation Using Fourier Series) 본문
열전도 방정식 유도, Heat Conduction Equation Derivation
- Article author: in-foman.tistory.com
- Reviews from users: 47415 Ratings
- Top rated: 3.7
- Lowest rated: 1
- Summary of article content: Articles about 열전도 방정식 유도, Heat Conduction Equation Derivation 왜냐하면 열이 확산하는 것이 바로 전도이기 때문입니다. 열전도 방정식의 이해를 위해서는 연속방정식(Continuity equation)에 대한 이해가 선행되어야 … …
- Most searched keywords: Whether you are looking for 열전도 방정식 유도, Heat Conduction Equation Derivation 왜냐하면 열이 확산하는 것이 바로 전도이기 때문입니다. 열전도 방정식의 이해를 위해서는 연속방정식(Continuity equation)에 대한 이해가 선행되어야 … 열확산 방정식(Heat diffusion equation)은 열전도 방정식(Heat conduction equation)과 같은 방정식입니다. 왜냐하면 열이 확산하는 것이 바로 전도이기 때문입니다. 열전도 방정식의 이해를 위해서는 연속방정식..공대 공부관련 정보나 각종 도움이 되는 정보들을 전달해드립니다!
- Table of Contents:
See more articles in the same category here: https://toplist.hotramvillas.vn/blog/.
위키백과, 우리 모두의 백과사전
열 방정식의 해. 시간에 따라 열이 전도되면서 온도 분포가 점차 균일해지는 것을 볼 수 있다.
물리학과 수학에서 열 방정식(熱方程式, heat equation)은 열 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 편미분 방정식이다. 열 뿐만 아니라 기체의 분산이나 브라운 운동, 금융학의 블랙-숄즈 방정식(Black–Scholes equation)을 다룰 때도 쓰인다.
정의 [ 편집 ]
n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간에서 실함수 u ( t , x ) : R × R n → R {\displaystyle u(t,\mathbf {x} )\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 가 온도 분포를 나타낸다고 하자. 만약 열이 열전도율 D {\displaystyle D} 를 따라 전도된다면 u {\displaystyle u} 는 다음과 같은 2차 편미분 방정식을 만족한다.
u ˙ = D ∇ 2 u {\displaystyle {\dot {u}}=D
abla ^{2}u}
여기서 ∇ 2 {\displaystyle
abla ^{2}} 는 n {\displaystyle n} 차원 공간에서의 라플라스 연산자다. 이 편미분 방정식을 열 방정식이라고 한다.
보다 일반적으로, n {\displaystyle n} 차원 리만 다양체 위에서의 열 방정식을 정의할 수 있다. 이 때는 ∇ 2 {\displaystyle
abla ^{2}} 는 라플라스-벨트라미 연산자가 된다.
그린 함수 [ 편집 ]
열 방정식은 그린 함수를 통해 풀 수 있다. 열 방정식의 그린 함수는 열핵(熱核, 영어: heat kernel)이라고 불리며, 다음과 같다.
G ( t , x ) = 1 ( 4 π D t ) n / 2 exp ( − x 2 / 4 k t ) {\displaystyle G(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{(4\pi Dt)^{n/2}}}\exp(-\mathbf {x} ^{2}/4kt)}
이 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.
G ( 0 , x ) = δ ( n ) ( x ) {\displaystyle G(0,\mathbf {x} )=\delta ^{(n)}(\mathbf {x} )} G ˙ = D ∇ 2 G {\displaystyle {\dot {G}}=D
abla ^{2}G}
여기서 δ ( n ) {\displaystyle \delta ^{(n)}} 은 n {\displaystyle n} 차원 디랙 델타 함수다. 따라서 그린 함수를 사용하여 열 방정식의 초기 조건 문제를 풀 수 있다.
같이 보기 [ 편집 ]
외부 링크 [ 편집 ]
열방정식, 파동방정식의 의미
열방정식 (heat equation)
위키피디아에 따르면 열 방정식(heat equation)은 열 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 편미분 방정식이라고 한다.
일단 ‘2차 편미분 방정식’이라는 복잡한 말은 배제하자(‘2차’라는 말이 들어간 것은 순전히 미분을 두 번 했다는 뜻이다.). 일단 여기서 중요한 키워드는 ‘시간’에 따른 ‘전도’라고 할 수 있을 것 같다. 시간은 말 그대로 시간인데, ‘전도’는 공간에 대한 퍼짐이다.
여기서 힌트를 얻을 수 있는 것은, 열 방정식에는 하나 이상의 변수가 관여한다는 것이다. 열 방정식은 ‘열(heat)’을 출력으로 하고, 시간과 공간을 입력으로하는 함수라고 알 수 있다.
보통 ‘공간’이라고 하면 3차원 공간을 생각하게 되는데, 우리는 1차원 공간에 시간을 더한 함수에 대해 생각해보도록 하자.
열방정식의 intuition
열방정식에 대해 이해하기 위해 아래의 그림 1과 같이 쇠막대기를 어느정도 달궈뒀다고 생각해보자.
그림 1. 쇠막대기의 중간 지점을 어느정도 시간동안 불로 지져뒀다고 생각해보자.
그러면, 막대기의 길이에 따른 온도를 $u(x)$라 하면, $u(x)$의 분포는 대략적으로 아래와 같을 것이다.
그림 2. 쇠막대기의 길이에 따른 온도의 분포를 나타낸 것.
즉, 달궈놓은 곳은 온도가 올라갔을 것이고, 달구지 않은 곳은 온도가 그렇게 올라가진 않았을 것이다.
그림 2의 상황에서 시작해서 외부에서 온도의 변화를 더 이상 주지 않고 내버려두게 되면 그 뒤의 상황은 어떤식으로 진행될까?
기본적으로는 온도가 높은 곳은 온도가 떨어질 것이고, 온도가 낮은 곳은 온도가 올라간다고 생각할 수 있다.
그림 3. 시간이 지나게 되면서 생길 변화. 빨간색 화살표는 온도가 오르는 것을, 파란색 화살표는 온도가 내려가는 것을 나타냄.
그런데, 그림 3을 보면서 생각해보면 꼭 그렇지만은 않다는 것을 알 수 있는데, 빨간색 화살표로 표시된 곳은 쇠막대기의 끝지점(x= 0 또는 x= L)에 비해서는 온도가 높지만,
그 주변(파란색 화살표로 포시된 부분)의 온도가 상대적으로 더 높기 때문에 온도가 오히려 올라가게 된다.
이러한 잘 표현해보자면 가장 중요한 포인트는 다음과 같다.
주변 공간과의 상대적인 온도의 차이로 인해 온도가 변하게 된다.
즉, 주변 온도가 높으면 온도는 올라가게 되고, 주변 온도가 낮으면 온도는 낮아진다.
또, 주변 온도가 높을 수록 온도는 빨리 올라가게 될 것이고, 주변 온도가 낮을 수록 온도가 빨리 내려가게 될 것이다.
이것을 수학적으로는 어떻게 표현할 수 있을까?
‘빨리’는 속도에 관련된 것이고, ‘주변 값과의 관계’는 볼록, 오목이라는 개념을 도입해 생각할 수 있다. 여기서 ‘볼록’, ‘오목’은 2차 미분 계수로 표현할 수 있다.
2차 미분계수와 ‘볼록’, ‘오목’
고등학교 시시절 변곡점(point of inflection)이라는 용어를 들어본 적이 있을 것이다. 변곡점은 2차 미분계수가 0이 되는 지점으로, 위로 볼록인 상태에서 아래로 오목인 상태로 변하거나 반대로 상태가 변하는 그 시점을 말한다.
그림 4. 변곡점은 볼록>오목 혹은 오목>볼록으로 변하는 시점을 의미한다
다시 말해 수학적으로 ‘위로 볼록’은
\[f”(x) < 0\] 으로, ‘아래로 오목’은 \[f''(x) > 0\]
으로 쓸 수 있다는 사실을 기억하도록 하자.
열방정식의 의미
다시 열 방정식의 의미를 생각해보면, 주변 온도가 높을 수록 온도는 빨리 올라가게 될 것이고, 주변 온도가 낮을 수록 온도가 빨리 내려가게 되는 것이라고 했다.
우리의 온도 분포 $u$는 시간과 공간의 함수이므로,
\[u = f(x,t)\]
라고 쓸 수 있다.
온도 분포의 시간에 따른 변화(속도)는
\[\frac{\partial u}{\partial t}\text{ 혹은 } u_t\]
라고 쓸 수 있다.
또, 주변 온도가 높거나 낮은 정도는 2차 미분계수를 이용해
\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\text{ 혹은 }u_{xx}\]
라고 쓸 수 있다.
온도의 변화 속도는 주변의 온도가 높거나 낮은 정도에 비례한다고 할 수 있으므로,
\[u_t \propto u_{xx}\]
비례 상수 $k$를 이용해 표현하면,
\[u_t = k u_{xx}\]
이며, 이것이 1차원 공간에서의 열 방정식이다.
MATLAB demo 1: 쇠막대기 예제
그림 5는 지금까지 얘기되었던 쇠막대기의 온도 변화를 시뮬레이션 한 것이다.
볼록/오목한 정도가 심할 수록 온도가 빨리 변하는 것을 확인할 수 있다.
그림 5. 쇠막대기의 온도 변화를 시뮬레이션 한 것
아래의 3D 그림은 쇠막대기의 온도 변화 $u(x, t)$를 3차원 공간 상에 도시한 것이다.
MATLAB demo 2: 쇠판대기 예제
지금까지는 1차원 공간에서의 열방정식에 대해서 얘기가 되었는데, 이번 예시에서는 2차원 공간의 열방정식의 예제를 시뮬레이션 해보았다.
상정한 상황은 2차원 쇠 판대기를 1초 동안 라이터로 지진 뒤 열을 더이상 가하지 않게 되었을 때 쇠 판대기에서 열이 어떻게 퍼지는지를 시뮬레이션 한 것이다.
그림 6. 쇠판대기의 온도 변화를 시뮬레이션 한 것
역시나 주변에 비해 온도가 높은 곳은 온도가 빨리 떨어지는 것을 확인할 수 있다.
파동방정식 (wave equation)
파동방정식은 음파, 전자기파, 수면파 등을 다루기 위해 사용되는 2차 편미분 방정식이다. 여기서 말하는 파동방정식은 슈뢰딩거의 파동방정식과는 다른 것이다.
열방정식이 갖는 의미를 이해했다면 파동방정식의 의미를 이해하는 것은 매우 간단해진다.
파동 방정식의 intuition
열 방정식이 볼록한 정도와 속도의 관계였다면 파동 방정식은 볼록한 정도와 ‘힘’의 관계이다. 즉, 볼록할 수록 더 힘을 받는다.
수식으로 표현하면 다음과 같다.
\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]
또는
\[u_{tt} = c^2 u_{xx}\]
여기서 $c^2$는 양의 상수이다.
즉 좌변은 ‘가속도’에 관한 항이고 우변은 ‘볼록한 정도’에 관한 항이다.
즉, 1차원 공간에 놓여있는 로프에 대해서 파동의 형태와 가해지는 힘을 표시하면 다음과 같다.
그림 7. 파동의 볼록한 정도에 따라 받는 ‘힘’이 시시각각 변한다.
출처: Meaning of Vector Wave Equation, StackExchange
시뮬레이션: 1차원 공간 상의 파동
파동방정식의 함수 역시 열방정식의 함수처럼 2차원 입력을 갖는 함수로 생각할 수 있다.
즉, 시간과 공간(여기서는 로프를 따라가는 x축)에 대한 함수로 나타낼 수 있으며,
그림 7과 같은 파동의 움직임은 아래와 같이 3차원 공간에서 표현할 수 있다.
시뮬레이션: 2차원 공간 상의 물결파
아래의 MATLAB 시뮬레이션은 2차원 공간에서의 물결파를 시뮬레이션 해본 것이다.
가정한 상황은 중앙 지점에서 wave의 source가 주기적으로 나온다는 것이고, 주변으로 어떻게 wave가 퍼지는지를 확인해본 것이다.
또, 이 공간은 벽으로 막혀있어서 wave가 반사되어 돌아오게 된다고 boundary condition을 설정했다.
그림 8. 2차원 공간 상에서의 파동 시뮬레이션
※ 시뮬레이션에 사용된 MATLAB 코드는 공돌이의 수학정리노트 Github Repo에서 받으실 수 있습니다.
$\Rightarrow$ 공돌이의 수학정리노트 Github Repo
열전도 방정식 유도, Heat Conduction Equation Derivation
열확산 방정식(Heat diffusion equation)은 열전도 방정식(Heat conduction equation)과 같은 방정식입니다. 왜냐하면 열이 확산하는 것이 바로 전도이기 때문입니다.
열전도 방정식의 이해를 위해서는 연속방정식(Continuity equation)에 대한 이해가 선행되어야 합니다.
연속방정식 유도와 열전도방정식, continuity equation derivation and heat conduction equation
열전도 방정식, Heat conduction equation
육면체의 변의 길이를 가로 dx 세로 dy 높이 dz라 하고, 아래의 그림과 같이 에너지가 들어오고 나간다고 가정해보겠습니다.
이때, 들어가는 에너지와 나오는 에너지, 그리고 그 외의 에너지에 대해서 생각해보겠습니다.
열전도 방정식 유도, Heat Conduction Equation Derivation
우선 열전도 방정식의 각 항(term)을 구해보겠습니다.
1. In 들어가는 에너지
2. Out 나오는 에너지
3. Energy Source, 생성되는 에너지
에너지 생성(Energe generation)이라고도 하며 dot_q는 단위 시간당 단위부피에서 생성되는 열에너지를 뜻합니다. 따라서 부피 dx*dy*dz를 곱해주어 단위시간당 전체 부피에서 생성되는 에너지를 표현한 것입니다.
4. Energe storage, 시간에 따른 시스템의 에너지 변화
육면체를 하나의 시스템으로 보았을 때 시간에 따라 변화하는 전체 시스템의 에너지는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
밀도*정압 비열*시간에 따른 온도 변화*부피 꼴로 나타나며 시간에 따른 전체 시스템의 에너지 변화를 나타낸 것입니다. 납득이 되지 않는다면 단위를 곱해보시면 아실 수 있습니다.
[kg/m^3]*[kJ/kg*K]*[K/t]*[m^3] = kW에너지 보존 법칙, Energy conservation law
위 식은 에너지 보존 법칙(Energy conservation law) 즉, Energy balance에 의한 식입니다.
1. 들어오는 에너지 – 2. 나가는 에너지 + 3. 생성되는 에너지 = 4. 시간에 따른 시스템의 에너지 변화
앞서 구한 항들을 대입해 보겠습니다.
정리하면, 아래 식과 같이 구할 수 있습니다.
여기서 이제 푸리에 열전도 법칙(Fourier’s law), 픽의 확산 법칙(Fick’s law)을 적용하면 q_x, q_y, q_y는 다음과 같습니다.
푸리에 열전도 법칙을 잘 모르시겠다면 이전 포스트를 참고하시기 바랍니다.
푸리에 열전도 법칙, 열유속과 열전도도, Fourier’s law, Heat flux and Heat conductivity
대입해서 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
모든 항에서 dx*dy*dz를 소거하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.
일반 열전도 방정식, General conduction equation
일반적으로 열전도도(Heat conductivity) k는 일정합니다. 열전도도는 물질의 특성이기 때문에 하나의 문제에서 하나의 물질을 다루는 이상 일정한 경우가 많습니다.
열전도도 k가 일정한 열전도 방정식을 생각해보겠습니다. k가 일정하다는 것은 k가 상수(constant value)라는 의미이므로 미분항에서 꺼낼 수 있게 됩니다.
바로 이 식을 우리는 일반 열확산 방정식(General heat diffusion equation)이라고 부릅니다. 다른 말로 일반 전도 방정식(General conduction equation)이라고 부르기도 합니다.
반응형
So you have finished reading the 열 방정식 topic article, if you find this article useful, please share it. Thank you very much. See more: 열방정식 풀이, 열 방정식 유도, 1차원 열전도 방정식, 열확산 방정식, 파동방정식, 열방정식 나무위키, 편미분 방정식, Heat equation 유도
